苦手とは？/ アットローン
[ 611] Passion For The Future: なぜ数学が「得意な人」と「苦手な人」がいるのか
[引用サイト] http://www.ringolab.com/note/daiya/archives/003518.html
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１，２、それ以上はたくさん、と数える民族は実際にいるらしい。私たちは数を指折り数えるがこれだと、片手で５、両手で１０が限界である。さらに足の指まで動員すると20まではいける。パプアニューギニアのユプノ族は、左手→右手→左足→右足→左耳→右耳→左目→右目→鼻→左の小鼻→右の小鼻→左胸→右胸→へそ→左の睾丸→右の睾丸→ペニスまで身体の部位に数字を割り当てることで３３まで数えるそうである。複数人数で数えることでさらに大きな数を数える民族もあるという。 こうした数え方は文化によって違う。だが、違わない部分が発見されている。脳の中に、人間が生物学的に受け継いだ数の認識モジュールがある。このモジュールは４つくらいまでの数を認識できる。この本で紹介された実験では乳児でも、４つくらいまでの数を見分けている。 そして、数のモジュールの計算には上述の指折り数えることが深く関わっているのではないかという仮説が示される。指の数など身体部位の認識ができなくなるゲルストマン症候群の患者は、計算もできなくなる。計算には身体イメージや運動性が深く関わっていることが分かってきたという。 脳に損傷を追った患者をたくさん調べていくと、特定の部位を損傷することで、足し算だけできない人、引き算だけできない人、もしくは掛け算、割り算だけできない人がいることが判明する。数の大小や順序が分からなくなる人もいる。基礎的な計算能力については脳にビルトインされた専用回路がいくつもあるようだ。 しかし、数学的天才はこの数のモジュールの性能が高いから、天才であるというわけではないことが後半で示される。 数学者ガウスは子供時代に教師から「１から100までを順に足したら合計はいくつか」という問題を出されたとき即答して周囲を驚かせたそうだ。 累乗計算の世界記録保持者ウィム・クラインは100桁の数の13乗を2分以下で行うことができるという。彼は150までの整数の対数を丸暗記してこの計算に用いている。 膨大な量の答えの暗記、計算の分割方法の知識が計算速度を飛躍的に高める文化概念ツールとして機能していると著者は指摘する。日本の珠算の上級者は暗算のときに頭の中でソロバンを動かすらしいが、これもツールの例といえそうだ。 つまり、生物学的な数のモジュールの能力個体差は小さいが、概念ツールを持つ人、持たない人の能力差は歴然としてしまうということ。数学の天才は概念ツールが生み出している可能性があるというのがこの本の見解。 最近、数学の国際コンテストで上位の中国では、日本とは違った九九の記憶法が取り入れられているらしい。１を掛けるものは省略。３×５と５×３は、３の段でやったら5の段では同じことなので省略し、５×５からはじめる。これによって九九の暗記項目が81個から36個に激減すると同時に、掛け算の処理の内容の理解が深まるという。数学に強いインドでは力技で20×20まで暗記させるというが、こうしたツールの有無が、日本が追い抜かれた理由なのかもしれない。 数学の達人を作り上げたのは、一人で意図的な訓練に取り組んだとんでもなく長い時間であるというのがこの本の結論である。達人はそうでない人に比べて圧倒的に、練習時間が長く、無数の概念ツールを暗記していたり、組み合わせて使う工夫の知識を持っている。 音楽大学における調査では、天才的奏者は1万時間の練習を経ているが、平凡な奏者は4千時間程度だったそうだ。そして大抵は、天才たちは好き好んで一人で練習している。同じように、教育においては数学の学習を楽しく行うことで、上手になる循環環境をつくることが大切だとする。 伝説のインドの天才数学者ラマヌジャンは、貧乏で進学できなかった子供時代、一人で分厚い数学の辞典「純粋数学および応用数学における基本結果概要」にでてくる5000の公式、方程式を丸暗記していた。あるとき、彼は自分の数に関する考えを手紙に書いて、ケンブリッジ大学の数学教授へ送る。これを書いた人物が天才であることは間違いないと判断されて、大学への道が開かれたそうだ。好きで一人で取り組むことが、天才への道らしい。 この本の後半では数学的思考を説明するための問題がいくつか登場する。電車の中で意味を一人で取り組んでみた。30分以上も考えて、やっと納得した問題が以下。 スミス夫妻には子どもが二人いる。ひとりは男の子だとわかっている。ではもうひとりが女の子である確率は？」（双子ではありません） 「スミス夫妻には子どもが二人いる。上の子は男の子、では下の子が女の子である確率は？」（双子ではありません） 二つの似た質問に対してなぜ答えがそうなるのか、異なるのか、直感的に分かる人は数学的思考ができる人なのだろう。どちらも2分の1だと思ってしまった私はまだまだダメでした。 「ある番組で、３つの扉の中から１つを選ぶと、その扉の後ろにある賞品がもらえるという企画があり、1つの扉には車、残り２つの扉の後ろにはヤギがいます。 あなたが１つ扉を選んだ後で、司会者はあなたが選んでいない、かつ後ろにヤギがいる扉を開けます。ここで、あなたは扉の選択を変更するチャンスが与えられます。 スミス夫妻には子どもが三人いる。ふたりは男の子だとわかっている。ではもうひとりが女の子である確率は？」（双子ではありません） スミス夫妻には子どもが二人いる。ひとりは男の子だとわかっている。ではもうひとりが女の子である確率は？」（双子ではありません） やられました〜。３０秒ほど考えて、やっとわかりました。あとの問題を先に聞いてくれれば、わかったかもしれませんけど（＾＾； ２問ならんで出題されているところから、この「ひとり」は上の子あるいは下の子をさした「ひとり」ではない意味としての「ひとり」なんだろうな、と意を汲むのがふつうでしょうが、なみさんがおっしゃるように、こうやって「意を汲む」のは数学的態度とは言い難いですね。 原文ではちゃんと「ふたりのうち少なくともひとりは」という言い方になっていたのに和訳する際にぬかったのではなかと推測します。 おもしろい記事ですね。(本は読んでませんが)公式を丸暗記と言っても、どういった場面で力を発揮するか(組み合わせとか)理解してるから暗記できたんじゃないかなぁとか思ったり。 ２乗についての暗算には項の数（九九などで記憶している掛け算処理後の項の数）が多くないインド人の例が楽な方法だと思っています．項の数を多くすることは紙に書かない暗算ではお勧めできないと思います． 有名な数の数え方に、指を「折る」と「伸ばす」を0と1に対応させて2進法として数えるというものもあります。両手を使えば1024個の数を数えることが可能です。 「スミス夫妻はサッカーくじを１つ買いました。二等以上（一等か二等）であることは分かっている。では二等である確率は？」 スミス夫妻には子どもが二人いる。ひとりは男の子だとわかっている。ではもうひとりが女の子である確率は？」（双子ではありません） スミス夫妻には子どもが二人いる。ひとりは男の子だとわかっている。ではもうひとりが女の子である確率は？」（双子ではありません） スミス夫妻には子どもが二人いる。ひとりは男の子だとわかっている。ではもうひとりが女の子である確率は？」（双子ではありません） という条件で、もうひとつが白である確立は？と聞かれれば、何の違和感も無く３分の２って答えると思うんですよ。 文章として提示された物から、「条件」や「要素」をキチンと整理する過程ってのは、間違いなく「数学的」でしょう。 ここで違和感を感じていらっしゃる方々は、「同様に確からしい」という概念をきちんと（教科書的に）理解されていないことに原因があるような気がしました。 ここで違和感を感じていらっしゃる方々は、「同様に確からしい」という概念をきちんと（教科書的に）理解されていないことに原因があるような気がしました。 赤の球と白の球が１／２の確率で入っているとは書いてないなぁ。赤10000個と、白10個から抽出してたとしても上の条件と同じだ。そーゆー暗黙知は、どうなのかしらん。 |
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